Статистика ВК сообщества "Партизанская математика"

НАЧИНАЮЩИМ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ МАТЕМАТИКИ (ЧАСТЬ 2. ПЕДАГОГИКА)

В первой части рекомендаций мы поговорили о том, как пополнить свои предметные и методические знания начинающему педагогу.

Теперь обсудим некоторые базовые общепедагогические вопросы.

В отличие от предыдущего поста, здесь будут более широкие рекомендации.

При этом нужно учитывать, что стиль, техника и философия преподавания у разных учителей и репетиторов могут сильно отличаться. Поэтому универсальных советов не существует. Были только два вопроса, по которым у большинства моих коллег было некоторое единодушие.

С них и начнём.

Как ни странно, первый совет тоже связан с предметной деятельностью. Точнее, межпредметной.

Вам необходимо знать, как именно математика связана с остальными школьными дисциплинами, и понимать последовательность тем не только в алгебре и геометрии, но и, например, в физике и информатике. Хотя бы в общих чертах.

Для этого не обязательно прорешивать учебник физики или учиться программированию, как мы советовали в предыдущем посте. Но вам нужно понимать важность того, что иногда графики нужно строить не только в осях координат x и y, а также, например, в осях p и V. Что неизвестную в уравнении полезно обозначать не только через x. Что среди всех степеней желательно знать наизусть именно степени двойки.

Такой подход поможет ученикам развивать свои математические навыки не только непосредственно на ваших занятиях, но и вовремя других уроков.

Есть и другая причина посмотреть на сторонние дисциплины. Знание математической составляющей в других предметах позволяет иногда зацепить учеников. Подобные математические крючки есть в методической копилке любого опытного педагога.

При этом мы говорим не только про очевидные связи вроде тем «Масштаб» или «Промилле» в 6 классе, которые тут же могут применяться в географии. Или про использование в химии классических задач на смеси, сплавы и растворы. Или про генетику в биологии (в более продвинутых случаях это могут быть простые числа и цикады, подсолнухи и Фибоначчи).

Но, к примеру, в литературе тоже можно найти что-то математическое.

«Сад расходящихся тропок» Борхеса отличная метафора для фракталов. Богатая тема для обсуждения – математика в романе Замятина «Мы». Или Пьер Безухов и его математические упражнения (а там можно выйти на связь числа 666 и чисел на рулетке в казино). А какая драма разыгрывается вокруг теоремы о бесконечных обезьянах в рассказе Мелона Рассела «Несокрушимая логика»! Кстати, многие ли из педагогов слышали, что большинство из тех, кто имеет профессиональное математическое образование, отлично знает год рождения Л.Н.Толстого?

Это первое, что сейчас пришло на ум. По мере вашего становления в профессии у вас будет всё больше и больше подобных наблюдений и соответственно педагогических инструментов.

Другое общее место в советах коллег, с которым я полностью согласен, – это голос.

Нужно стараться как можно раньше научиться эффективно работать со своим голосом. Это один из главных инструментов педагога.

Мы говорим здесь про дикцию, диапазон, тембр, полётность, выносливость, силу, гибкость, объем и полноту. Со всеми этими характеристиками голоса нужно поработать заранее. Отчасти сюда можно включить и грамотность речи, хотя это относится немного к другой категории.

Можно, конечно, самостоятельно заниматься всеми этими вопросами. Но я рекомендую найти профессионального педагога и пару месяцев позаниматься с ним. Он поможет устранить ваши явные речевые недочёты и даст необходимые рекомендации по дальнейшей самостоятельной работе. Всё-таки в этой области довольно много тонкостей, которые сложно уловить, обучаясь по роликам из ютуба. Даже те же скороговорки нужно уметь грамотно проговаривать, а не просто быстро и как попало. Должен быть человек, который поможет скорректировать выполнение подобных упражнений.

Если же опытный и профессиональный педагог не по карману, то достаточно обратиться к недавнему выпускнику какого-нибудь театрального вуза. Работа с голосом – это обязательная часть актёрской профессии, поэтому многое можно почерпнуть у них.

Нужно добиться того, чтобы вы научились получать удовольствие от того, как вы говорите. Правда, тут есть побочный эффект. В какой-то момент вы станете слышать речевые недочёты других людей, но при этом начнёте отделять содержание речи от её формы.

Ещё обязательно уточните у преподавателя, как лучше всего восстанавливать голос после тяжёлых нагрузок или после болезни. Здесь я не буду писать всё, что мне советовали по этому вопросу. Слишком много разных рекомендаций. Вам же будет достаточно спросить у своего педагога и следовать его советам.

В общем, берегите (и тренируйте) голос смолоду.

От себя ещё добавлю про пользу занятий вокалом. Это, конечно, развивает немного иные аспекты голоса (не будете же вы петь ученикам теорему Пифагора), но тоже в какой-то мере позволяет поставить правильное дыхание и натренировать голосовые связки.

Дальше будут рекомендации, которые не являются общим местом. То есть я перечислю какие-то полезные инструменты, которым можно заранее научиться, но насколько это пригодится именно в вашей работе, сказать сложно. Многое зависит от того, каким вы ощущаете себя педагогом, на что планируете делать упор в своей практике.

1. Слепая печать на русском языке.
Полезно, если вам предстоит много переписываться. Или печатать много документов. Или вести свой блог. Со стороны слепая печать может казаться какой-то магией, но по факту этому можно научиться за пару месяцев регулярной практики. Лично мне хватило этого срока и ежедневных 10-минутных упражнений в приложении Stamina. Но нужно понимать, что этот навык довольно быстро теряется, поэтому лучше сразу понимать, как вы будете в дальнейшем его поддерживать.

2. Офисные приложения и Latex.
Включу сюда и знакомство с приложением Latex. Это главное приложение для верстки научных статей. Но это больше пригодится учителям математики, которые планируют разрабатывать собственные материалы.
Про офисные продукты вроде Word, Ехсеl, думаю, и так все понимают. Довольно много времени уходит на работу с ними, поэтому полезно сразу научиться грамотно ими пользоваться.

3. Иностранный язык.
В первую очередь мы говорим, конечно, про английский. Изучение любого иностранного языка довольно трудоёмкое дело. Но здесь открывается пространство для преподавания на изучаемом языке. Подготовка к SAT, GMAT, а также работа в специализованной школе – всё это позволит вам кратно вырасти как преподавателю математики.

4. Скетчинг.
Или, иными словами, техника быстрого рисунка. Много раз видел, как умеющие рисовать педагоги использовали свои навыки в работе, причём порой самым неожиданным образом. Не могу сказать, как и где лучше всего этому научиться, так как не владею подобными техниками. Но в отличие от академического рисунка, этому точно гораздо проще научиться.

5. Сторителлинг и режиссура.
Искусство рассказа – важное умение для любого педагога. Это может быть как главным приёмом в работе преподавателя, так и просто как приятное дополнение к другим техникам. Любой материал можно подать формально и шаблонно, а можно попробовать как-то драматургически раскрутить.
Сюда же можно включить и знания, касающиеся режиссуры и динамики уроков. Желательно заранее изучить различные формы его проведения. Далеко не факт, что вы в работе всё это будете использовать, но иметь несколько козырей в рукаве в виде необычно построенного занятия всегда полезно.

Изучение этих областей нужно не только для того, чтобы мгновенно использовать всё это в работе. Думаю, у каждого педагога может быть свой список того, что, по их мнению, нужно изучить. Всё это важно с других точек зрения.

Во-первых, каким бы вы ни были профессионалом своём предмете, нужно всё же стараться полностью в него не зарываться. Возможно, перечисленное выше так и не пригодится в вашей преподавательской деятельности, но зато может стать вашим хобби и отдыхом от основной работы. Кстати, поэтому здесь главное правило – вы должны получать удовольствие от изучения этих практик.

Во-вторых, вам нужно постоянно быть в шкуре обучающегося. В преподаваемом предмете вы постепенно станете профессионалом. Трудности первых шагов сотрутся из памяти. Курсы повышения квалификации, даже если они не профанируются, не дают ощущения знакомства с совершенно новым материалом. Только понимая всю сложность и зыбкость получения нового знания вы сможете качественно преподавать. И научитесь главному качеству педагога – безграничному терпению.

Теперь список полезных книг:
«Запомнить все. Усвоение знаний без скуки и зубрежки» (Браун Питер)
«Дисциплина без стресса. Как без наказаний и поощрений развивать в детях ответственность и желание учиться» (Маршалл Марвин)
«Педагогическая поэма», «О коммунистическом воспитании» (Макаренко А.С.)
«Мастерство учителя. Проверенные методики выдающихся преподавателей» (Дуг Лемов)
«Руководство к образованию немецких учителей» (А. Дистервег)
«Великая дидактика» (Ян Амос Коменский)
«Видимое обучение. Синтез результатов более 50 000 исследований с охватом более 80 миллионов школьников» (Джон Хэтти)
«Гибкое сознание: новый взгляд на психологию развития взрослых и детей» Кэрол Дуэк
«Витя Малеев в школе и дома» (Носов Н.Н.)
«Человек как предмет воспитания» (Ушинский К.Д.)
«Теннис как внутренняя игра» (У. Тимоти Голви)
«Думай медленно… решай быстро» (Даниэль Канеман)
«Республика ШКИД» (Белых Г.Г. и Пантелеев Л.)
«Пиши сокращай. Как создавать сильный текст» (Ильяхов М.)
«Практическая педагогика. Азбука НО» (Зицер Д.)
«Воспитание воли школьника» (Селиванов В.И.)
«Учение с увлечением. Секреты любви к учебе» (Соловейчик С.Л.)
«Как мы учимся. Почему мозг учится лучше, чем любая машина… пока» (Станислас Деан)
«Современное обучение. Практическое руководство» (Дж. Петти)

Специально включил в список очень разношерстные книги из разных педагогических систем, а также несколько художественных, да и просто полезных для педагогов книг. Читать их можно в любом порядке. Некоторые книги имеют немного провокационный и дискуссионный характер. Но тем лучше. Помимо классики полезно иногда ознакомится и с современными разработками.

Конечно, можно было бы перечислить больше книг. Но пусть лучше это будет двадцать книг, но которые вы гарантированно прочитаете, чем двести, которые будут скорее пугать своим объёмом.

Содержание книг, а также почему начинающим преподавателям полезно прочесть именно эти книги пока оставлю без комментариев. Это слишком большая тема для разговора, поэтому лучше вы сами их прочтёте и сформируете о них своё мнение.

На этом пока всё. В заключительном посте мы поговорим о тактике дальнейших действий для начинающего преподавателя математики.

ПОЧЕМУ НУЖНО НАЧИНАТЬ С ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ

С чего начать ученику, который, наконец, решил устранить пробелы и всерьёз заняться школьной математикой?

Казалось бы, ответ лежит на поверхности: взять учебники, начиная с начальной школы (если пробелы идут с того времени) и потихонечку разбираться самостоятельно, просто прорешивая всё подряд вплоть до текущего класса.

Но, во-первых, это не так уж и просто. Не у всех хватает силы воли. Да и учебники учебникам рознь. Не ясно, какие лучше всего подойдут для самостоятельной работы. А в эпоху ютуба и тиктока так и хочется схалтурить и ограничиться лишь просмотром соответствующих видео...

Во-вторых, нет чёткого плана и стратегии, нет главной линии. Просто решать всё подряд? И разгадывать ребусы от Петерсон? И бегать с мерками по числовой прямой? Как самостоятельно заниматься по программам, которые заточены на «коллективно-распределенную деятельность» и якобы на воспитание личности, а не на обучение математике? Старшекласснику тоже нужно у себя «выращивать понятие числа» и «изобретать числовую прямую»? А справочник ошибок вести? Что будет чувствовать вменяемый ученик, когда узнает, что умножение – это, по мнению некоторых авторов, переход к новой мерке?

И это разговор пока только про начальную школу. Если там всё так запутано, может тогда делать упор сразу на алгебру? Или на текстовые задачи? Или наконец, понять, что такое функция и её график?

В-третьих, даже если выбрать нормальные учебники и иметь достаточную мотивацию, то довольно быстро она заканчивается. Действительно, в школе могут уже вовсю решать квадратные уравнения, дробно-рациональные неравенства, а то и вовсе тригонометрические уравнения, а ученик в это время параллельно занимается сам уже 3 месяца и завяз где-то в конце 5 класса. И дальше нет почти никакого продвижения. Это деморализует и окончательно отталкивает от математики.

Мы с коллегами пробовали разные подходы при консультировании подобных учеников. И обнаружили, что эффективная работа начинается с выработки вычислительных навыков.

Давайте попробуем разобраться, почему это так.

Представим себе ученика, который еле-еле справляется со школьной программой. Вот есть какая-то задача, которую ему нужно решить. Если это не геометрическая задача на доказательство, то в ней точно нужно будет что-то посчитать. Может быть дискриминант. Или привести подобные слагаемые. Или сократить какую-то дробь. Или найти один из трёх углов в треугольнике.

Может быть кто-то объяснит нашему ученику, как решать подобную задачу. Напомнит формулу дискриминанта. Покажет, что для приведения подобных нужно сложить коэффициенты при одинаковых буквах. Расскажет про сумму углов треугольника. Или он сам где-то про это прочтет. Или как-то иначе догадается.

Но тут всегда остаётся последний шаг – вычисления. И даже если окажется, что содержательная часть каким-то чудом стала понятна, то решить задание в конечном счёте всё равно не получается. Подсчёт не верен. Или верен, но для этого тратится какое-то невообразимое количество времени и сил.

В итоге, когда такому ученику пытаются помочь и рассказать какую-то тему, он подсознательно понимает, что это всё бесполезно. Задача не будет до конца решена. А психика скоро не будет даже пробовать обучиться, если в результате точно будет провал.

Однако, при правильной постановке вычислительных навыков у ученика возникает хоть какая-то уверенность в своих силах. Он может в задаче хотя бы что-то посчитать. Да, может сама математическая модель или схема будет не до конца понятна. Но выполняемые на автомате вычисления позволят сосредоточиться на конкретной задаче, а точнее на её содержательной части.

Важным следствием адекватного навыка счёта является ускорение работы со школьной программой. Одно дело, когда вы за час сможете разобрать пяток-другой задач, например, на концентрацию. Другое дело, когда осилите максимум две-три задачи из-за того, что не можете посчитать банальных вещей. Ваше внимание распыляется и ничему новому вы не учитесь. Важный педагогический принцип «не более одной трудности в задании» не соблюдается. Потому что без автоматических навыков счёта у вас будут трудности в каждой задаче.

Естественно, школьная математика не сводится к счёту. Но без правильно поставленного навыка вычислений нет математики, что бы не говорили математики-профессионалы и составители развивающих фгосовских программ.

Конечно, нужно учитывать, что в младших классах навыки счёта гармонично ставятся через счётные палочки, кубики и закрепляются через текстовые задачи, которые показывают происхождение математики из реального мира. К сожалению, в догоняющей математике мы вынуждены выбирать какую-то основную линию, чтобы максимально быстро хотя в одном компоненте добраться до школьной программы. Именно тогда будет возможность частично подключить ресурс школы.

Другой момент, на который следует обратить особое внимание, это правильность счёта. Существуют общепринятые правила вычислений, которые уже давно показали свою эффективность. Пытаясь их обойти есть шанс скатиться к каким-то извращенным способам вычислений вроде ментальной арифметики и тем самым полностью блокировать выработку навыка. Ведь счёт нужен не только для того, чтобы получить какой-то результат, но и для того, чтобы на практике увидеть некоторые закономерности, которые потом составят основу всей алгебры.

То есть важно понимать, как именно нужно правильно считать. Не должно быть такого, что, мол, «мне удобнее по-другому» или «я так привык». В итоге школьники не знают, как умножать на 9, поэтому умножают на пальцах. Или из 15 вычитают 7 прямым отсчитыванием (и соответствующими раздумьями в течении 5-10 секунд). Мол, мне «так проще». Нет, это путь в никуда.

Это как в спортзале. Если неправильно выполнять упражнения, даже если «так проще», то есть риск получения серьёзной травмы. Правда, математическая травма менее заметна. Просто в какой-то момент вы можете внезапно подумать, что не способны к математике, потому что «гуманитарий».

Ещё одна причина, по которой следует начинать именно с постановки навыков счёта, –возможность максимально автономной работы. Эта тема, для которой присутствие учителя для консультации не обязательно. То есть навык можно выработать самостоятельно. В отличие от того же геометрического доказательства, требующего присутствия человека, который может указать на некорректность рассуждений. Через счёт можно настроить такую планомерную систематическую работу, которая потом станет мостиком к другим, более сложным темам.

Постановка вычислительных навыков имеет три уровня: а) натуральные числа б) дроби, отрицательные числа, возведение в степень в) квадратные корни;

Первым делом нам нужно научиться стабильно работать с натуральными числами.

И начнём мы с небольшой диагностики...

НАЧИНАЮЩИМ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ МАТЕМАТИКИ (ЧАСТЬ 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ).

В первых двух статьях мы поговорили о том, как начинающим педагогам пополнить свои предметные и методические знания. Также мы обсудили некоторые дополнительные навыки, которые можно приобрести перед тем, как начать активно преподавать математику.

А теперь коротко о том, что делать дальше.

После того, как вы укрепили свои предметные знания и в целом вам стала понятна структура школьного материала, вам нужно пробовать преподавать.

В целом не так важно, где именно вы начнёте преподавать: в кружке, центре допобразования, в летнем лагере или где-то ещё. Только на практике вы сможете понять, насколько работа со школьниками вам интересна и какая форма работы для вас более предпочтительна.

Конечно, это всё отличается от преподавания в школе по программе, но для начала нужно пробовать получить хоть какой-то опыт обучения школьников.

Можно также начинать преподавать индивидуально.

Не будем подробно останавливаться на том, как начинающему репетитору искать учеников. Это вне темы нашего разговора. Однако, некоторые важные вещи стоит проговорить.

Важно, преподавать только тем, кто сам обратился за помощью. Ни в коем случае не нужно бегать за учениками и родителями со словами «А давайте я вас научу! Ведь мне нужен опыт!». Вам нужен не опыт, а в первую очередь научить школьника математике. Помочь ему по запросу. Именно такой должен быть настрой.

Поэтому пусть ваше окружение знает, что вы преподаёте. Этого пока достаточно. Когда придёт время, они обратятся. Или не обратятся. Это тоже нужно спокойно принимать.

Поначалу вам нужно стараться заниматься только с теми, кто хотя бы немного мотивирован. Не нужно думать, что вы настолько пламенный мотиватор, что вчерашние лентяи проникнутся и устремятся.

Демотивированные ученики почти мгновенно демотивируют неопытного преподавателя (да и опытного со временем тоже). Не бойтесь честно признаться себе и родителям, что вам не удалось как-то зацепить и найти контакт с учеником. Лучше это сделать как можно раньше, чем тянуть эту лямку дальше. Это намного честнее, так как поможет родителям обратиться к более профессиональному педагогу.

Часто в рекомендациях для частных преподавателей можно услышать совет: не заниматься бесплатно. А то и вовсе советуют повышать и повышать стоимость своей работы.

Однако, при отсутствии крайней финансовой нужды начинающим педагогам можно пробовать помогать специализированным фондам. Есть благотворительные организации, которые занимаются поддержкой многодетных семей или же поддержкой детей c ОВЗ. В них ещё больший дефицит педагогов, чем в школах. Так вот можно обратиться с предложением помощи к ним.

Но нужно быть очень аккуратными в случае, если вы обратитесь в подобный фонд.

Во-первых, бесплатность работы часто расхолаживает опекунов/родителей и их детей. Поэтому, как только начинается стабильное игнорирование ваших преподавательских требований, нужно сразу прекращать какое-либо сотрудничество.

Во-вторых, не нужно быть спасателем. Вы можете порой увидеть такие вещи или узнать про такие жизненные проблемы, про которые никогда бы не узнали, живя обычной жизнью. Вам нужно постараться остаться в рамках преподавания своего предмета, сохраняя профессионализм в любой ситуации. Особенно, это касается впечатлительных девушек.

В-третьих. Часто у подопечных подобных благотворительных фондов или, например, у детей в детских домах глубоко внутри живёт обида на весь мир. Тот самый настрой «мне все должны!». В том числе и учитель. В таких условиях плодотворно работать практически невозможно. Как только что-то подобное начнёте замечать, не мучьте себя и ученика. Есть и другие школьники, с которыми можно работать.

В-четвертых. Если вы не имеете специального образования и не планируете развиваться в направлении дефектологии, работайте только с умственно здоровыми учениками.

Соблюдая подобные меры предосторожности, вы сможете не только помочь детям и их родителям, но продвинуться в профессиональном плане.

Главное, что вам нужно для себя понять – это всё не является вашей благотворительностью. Так вы получаете практику в обмен на помощь ученикам.

Это можно было бы назвать благотворительностью, если бы вы были сложившимся профессионалом и отказались от платных учеников в пользу осознанной помощи специализированному фонду. Но пока это не так, у вас происходит взаимный обмен. Не более.

И ещё раз повторюсь: важно, с чьей стороны запрос. Если запроса к вам нет, то лучше идти туда, где этот запрос есть.

Ещё часто задают вопрос: а стоит ли идти в обычную школу?

О многочисленных минусах работы в школе можно найти много информации в соцсетях. Не будем здесь пересказывать все трудности, с которыми сталкиваются учителя.

Затронем лишь пару моментов, на которые стоит обратить внимание, если вы всё же решитесь выйти на работу в обычную школу.

Во-первых, у вас обязательно должны быть хорошие предметные знания и хотя бы небольшая теоретическая методическая подготовка. Не думайте, что вы сможете быстренько освоить материал при подготовке занятий. Говорят, что для изучения какого-то материала, лучше всего начать его преподавать. Но всё же это следует делать не тогда, когда вы уже преподаватель и это ваша профессия! Будьте готовы к тому, что при обычной нагрузке в школе не будет возможности поднять голову, отдышаться и системно изучить что-то новое.

Во-вторых, при выборе школы обращайте внимание в первую очередь на педагогический коллектив. Лучше всего, когда преподаватели являются группой единомышленников, которые примерно одинаково смотрят на процесс обучения. Именно они смогут дать вам некоторую поддержку, когда будет психологически особенно тяжело. Или же смогут помочь точечной методической рекомендацией в какой-то учебной проблеме.

Хорошо, когда в школе вы уже кого-то изначально знаете. Распространённая ситуация, когда молодой педагог ведёт кружок, я потом ему рекомендуют полноценную классную работу. Он уже частично знаком с коллективом и иногда с детьми, поэтому ему немного проще. Также часто бывает, что бывшие ученики идут в свою школу, т.к. частично знают местных учителей и представляют правила школы. Человеку с улицы гораздо сложнее влиться в незнакомый коллектив.

Поначалу будет реально тяжело. Есть даже такая присказка: первые пять лет учитель мучится, следующие пять лет учится, потом пять лет учит, и наконец, ещё пять лет мучит.

Но могу точно сказать, что заряд позитива от удачно проведённого урока в классе не сравнится с крепко проведённым индивидуальным занятием. Правда и негатив от провального урока тоже сильнее, но это уже другой разговор...

Ещё важный момент, почему всё же стоит попробовать поработать школьным учителем.

Побывав в роли учителя и поняв, как устроено школьное образование, вы скорее всего очень скептически будете относиться к словам родителей и учеников о школьных преподавателях.

В тематических репетиторских пабликах часто можно прочесть негатив в сторону учителей. Между строк читается даже какое-то пренебрежение к ним. Якобы репетиторы – это соль земли, а школьные преподаватели не умеют учить и лишь проверяют, чему детей научили частные преподаватели.

Если вы всё-таки будете развиваться именно как репетитор, то вам нужно научиться относиться с уважением не только к ученику, не только к его родителям, но и к человеку, который по ту сторону пытается чему-то научить вашего подопечного. А не испытывая уважения к педагогу, который также является вашим союзником в деле обучения, вы сами ничему не сможете научить ученика.

Стоит ли участвовать в программах вроде «Учитель для России», «Земский учитель» или каких-то других местных региональных программах поддержки молодых учителей?

Если рассматривать их только с позиции профессионального роста, то могу сказать, что УДР точно оказывает крепкую методическую поддержку. Во всяком случае 5 лет назад это было так. Про остальные точно не знаю, поэтому советовать не могу.

Ещё пара рекомендаций.

Если вы хоть в каком-то виде начали преподавать, то вам необходимо понимать, что это полноценная профессия. Не нужно относится к преподаванию будто это временная история, и что потом вы найдёте «нормальную работу». Даже когда вы занимаетесь с одним учеником раз в неделю, ни в коем случае у вас не должно быть установки вроде «после меня хоть потоп» или «и так сойдёт». Вы должны полностью выкладываться в преподавании.

Далее попробуйте найдите ментора/старшего товарища/наставника, к которому вы сможете обращаться по методическим вопросам. Спрашивайте про материалы, как лучше подать какую-то тему, разбирайте с ним проведённые уроки и т.д. Причём этот совет подходит преподавателям на разных этапах. Например, когда попался сложный ученик или класс. Или когда преподаватель хочет слегка сменить область работы внутри своего предмета (например, хочет готовить олимпиадников, егэшников или, наоборот, работать с детьми с ОВЗ).

Не занимайтесь написанием за учеников контрольных. Не пытайтесь помочь своим подопечным как-то иначе удалённо при диагностических работах. И тем более не шарьтесь по телеграмм-помойкам в попытке отловить и прорешать с учениками какие-то сливы. Это полностью блокирует ваше развитие как педагога.

Помните, что развитие преподавателя происходит только через своих учеников. Нет такого, что вы, например, прорешали все листочки матуса, прорешали за последние 5 лет все перечневые и теперь, наконец, решаете набрать учеников-олимпиадников. Это провальная стратегия. Нужно работать с теми учениками, которые к вам пришли и стараться именно для них обеспечить лучшую подачу материала. Невозможно расти без учеников. И вы растёте именно в том направлении и именно с теми учениками, которые к вам приходят. Если в начале приходят всё чаще по ЕГЭ – двигайтесь в эту сторону. Всё больше запросов на подготовку в физмат школу – занимайтесь этим. Потом при наработанной базе и повышении экспертности вы сможете точнее управлять своим профессиональным развитием.

Собирайте свою методическую копилку. Я уже говорил в одном из прошлых постов про прорешивание учебников. Так вот это может считаться начальными шагами по накоплению подобной копилки.

Ищите красивые задачи для школьников, интересные факты или неожиданные применения математики в жизни. Это поможет вам в том числе не закиснуть в рутине.

В принципе вся группа Партизанская математика является примером такой копилки. Думаю, ещё какие-то интересные наработки выложу в ближайшее время.

Давайте на этом пока закончим.

Учитывайте, что этот и предыдущие два поста в первую очередь являются ответами на присланные вопросы от студентов 1-2 курсов педвузов. У них есть некоторое время для самостоятельной работы и некоторый задор. Тем, кто уже имеет хотя бы небольшой опыт работы нужны чуть более точечные рекомендации.
Если эта тема интересна, могу развить её в каких-нибудь следующих постах.

И ещё. Готовясь к написанию поста, прослушал несколько курсов для начинающих репетиторов. До сих пор под впечатлением. Их все пекут на одной фабрике что ли? Все эти «вам нужно перейти из точки А в точку Б», «повышайте ценник в два раза», «записывайте видео и открывайте онлайн-школу». Где источник этого бреда? На какой марафон или бизнес-тренинг они гурьбой сходили и стали 30-летними преподавателями с «более чем 20-летним опытом работы»?

Начинающим педагогам большинство советов в таких видео бесполезны, а то и вовсе вредны.

ПРОВЕРКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ

Для быстрой проверки вычислительных навыков можно использовать следующую диагностику. Она основана на решении небольших примеров преимущественно уровня начальной школы. Важно, чтобы при расчётах был выбран самый эффективный метод вычислений. Калькулятором пользоваться запрещено, ручкой и бумагой пользоваться можно, когда не получается решить устно. Порядок выполнения заданий не важен, но лучше решать их по порядку. Разумеется, все задания должны быть выполнены по возможности правильно.

Школьники могут использовать этот тест для самопроверки. Преподавателям эта диагностика поможет сравнительно быстро понять, на каком уровне находятся вычислительные навыки их подопечных. После получения ответов ученика важно обсудить его способ решения и по возможности показать наиболее эффективный.

Диагностика находится в прикреплённом файле. В ней два уровня: первый для тех школьников, кто оценивает свои навыки счёта как плохие, второй – как средние.

***

Расшифровка диагностики по заданиям:

𝟔 + 𝟕 + 𝟓 = 𝟏𝟖 или 𝟖 + 𝟗 + 𝟕 + 𝟔 = 𝟑𝟎. Здесь в первую очередь проверяем, удаётся ли ученику держать в голове результаты небольших вычислений. Особенно это нужно потом в алгебре для приведения подобных. Заодно смотрим, пробует ли складывать числа парами.

𝟐𝟖 + 𝟑𝟕 = 𝟔𝟓 или 𝟖𝟑 - 𝟐𝟕 = 𝟓𝟔. Два самых сложных примера заданий на вычитание и сложение для двузначных чисел в пределах сотни. Несколько возможных вариантов: не может посчитать правильно, считает столбиком на бумаге, считает в голове столбиком. Если считает в уме, то нужно уточнить, представляет ли столбик в голове и как работает с десятками и единицами.

𝟏𝟑 ⋅ 𝟑 = 𝟑𝟗 или 𝟏𝟐 ⋅ 𝟖 = 𝟗𝟔. Два задания на умножение двузначных чисел в пределах сотни. Первое без перехода через десяток, второе с переходом через десяток. Здесь мы отслеживаем как ученик понимает единицу вначале: как один десяток или как число, стоящее слева от 2? Представляет в голове сам образ умножения столбиком? Начинает перемножение с единиц или десятков? Или же всё-таки считает правильно (то есть в для второго случая умножает 10 на 8 и прибавляет к результату 2 ⋅ 8)?

𝟏𝟑𝟖 + 𝟐𝟒𝟐 = 𝟑𝟖𝟎 или 𝟏𝟑𝟓 + 𝟐𝟖𝟕 = 𝟒𝟐𝟐. Сложение столбиком допустимо для трёхзначных чисел только при двух или трёх переходах через десяток, когда не комфортно держать это в голове. В других случаях всё-таки правильнее писать решение в строку и сразу считать в уме. Если смотреть сквозь призму устных вычислений, то в предложенной первой задаче нужно заметить, что единицы при сложении дают десяток, поэтому можно сразу сложить в уме 38 и 42 (нужно стабильно уметь делать такие операции, тем более результат остаётся в пределах сотни) и потом добавить три сотни. Второй пример совсем не удобен для сложения в уме, поэтому допустимо просто считать столбиком.

𝟓𝟔𝟎 : 𝟖 = 𝟕𝟎 или 𝟔𝟑𝟎𝟎𝟎 : 𝟗 = 𝟕𝟎𝟎𝟎. Частичная проверка знания таблицы умножения. 7 ⋅ 8 — один из самых сложных примеров в таблице умножения однозначных чисел, наряду с 7 ⋅ 9, 8 ⋅ 9 и другими подобными. Это связано с тем, что они находятся в конце таблицы, и обычно на них мало успевают решить примеров. Остальные легче, т.к. они при освоении таблицы умножения много раз повторяются до этого. Также проверяем умение работать с числами с нулями на конце при делении на однозначное число.

𝟐𝟒 ⋅ 𝟑𝟔 = 𝟖𝟔𝟒 или 𝟗𝟕 ⋅ 𝟖𝟗 = 𝟖𝟔𝟑𝟑. Смотрим, владеет ли ученик алгоритмом письменного умножения в столбик, и попутно проверяем сложные примеры из таблицы умножения (для второго случая). Обращаем внимание, ставит ли подписи над числами. То есть важно понимать, умеет ли ученик держать в оперативной памяти цифры, когда мы «три пишем, шесть в уме»

𝟓 + 𝟏𝟑 + 𝟗𝟓 = 𝟏𝟏𝟑 или 𝟓𝟖 + 𝟑𝟏+ 𝟓𝟐 + 𝟔𝟗 = 𝟐𝟏𝟎. В этом примере идёт проверка, воспринимает ли ученик задание как одно целое или просто идёт по порядку. То есть понимает ли, что иногда можно складывать числа группами. Для первого случая правильнее сначала сложить первое и последнее число, а для второго лучше складывать парами (первое с третьим и второе с четвёртым). Если использовать такой подход, то задание легко решается устно.

𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 : 𝟑𝟎𝟎 = 𝟒𝟎 или 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 : 𝟓𝟎𝟎 = 𝟒𝟎. Допустимо, если при решении явно зачеркивались нули в делимом и делителе. Также вторая задача проверяет умение разделить 120 на 5 устно. Второй пример можно решать двумя способами. Либо поочерёдно разделить на 5 числа 100 и 20, а потом результаты сложить. Либо разделить на 5 так: сначала разделить на 10, а потом домножить на 2 (или наоборот). Обычно используют первый вариант, если задача такого деления промежуточная и нет перед глазами явной её записи. Второй способ выявляет довольно продвинутый навык устного счёта.

𝟗𝟗 + 𝟕𝟔 = 𝟏𝟕𝟓 или 𝟑𝟗𝟖 ⋅ 𝟒 = 𝟏𝟓𝟗𝟐. Различные вариации устного счёта способом округления. Во первом случае нужно добавить единицу до ста, сложить числа, а потом вычесть единицу из результата. Во втором случае, видя «некрасивое» трёхзначное число, большинство учеников начинает умножать столбиком. В целом это нормальный способ, когда несколько разрядов при умножении переходят через десяток. Но здесь явно не хватает двух единиц до круглого числа 400, которое легко умножать. То есть правильнее перемножить 400 и 4, а после этого вычесть 8 (=два умноженное на четыре).

𝟒 ⋅ 𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝟎 или 𝟑𝟔 ⋅ 𝟐𝟓 = 𝟗𝟎𝟎. Смотрим ли, владеет ли навыками продвинутого устного счёта. Тут нужно в обоих примерах знать, что 25 ⋅ 4 =100. А во втором нужно ещё и уметь отделить четверку как множитель от 36. То есть представить выражение в виде 9 ⋅ 4 ⋅ 25, заметив, что 4 хорошо умножается на 25. Допустимо дважды отделить двойку таким образом: 18 ⋅ 2 ⋅ 25 = 18 ⋅ 50 = 9 ⋅ 2 ⋅ 50 = 9 ⋅ 100 = 900. Хотя, если ученик это умеет делать, то обычно он сразу видит, что можно отделить четвёрку.

Разделить с остатком 𝟐𝟓 на 𝟒 или 𝟒𝟕 на 𝟔. Многие ученики не понимают (или забыли), что значит остаток. В целом допустимо, если ученик может решить переформулированную задачу: «представить в виде смешанной дроби 25/4 или 47/6». Некоторые просто говорят наугад, безуспешно попытавшись вспомнить результат таблицы умножения. Ещё можно эту задачу можно усложнить, задав другой пример. Например, 61 : 7. Здесь в отличие от примеров выше есть переход через десяток и необходимость помнить про сложное табличное значение 56. Или можно дать другой схожий сложный пример: разделить 54 на 8 с остатком (обычно при слабом знании таблицы умножения сбивает с толку то, что 64 = 8 ⋅ 8 и 56 = 7 ⋅ 8).

𝟏𝟑𝟐 : 𝟔 = 𝟐𝟐 или 𝟐𝟓𝟑 : 𝟏𝟏 = 𝟐𝟑. Здесь не обязательно, чтобы ученик сначала 220 делил на 11, а потом делил оставшиеся 33. Нормально, если он говорит, что-то вроде: «Cначала разделил 22 на 11, потом 33 и получил 23». По сути, в голове сохранился урезанный алгоритм деления в столбик, но при делении он может быть оправдан (т.к. и в графической записи, и в уме расчёт начинается со старших разрядов).

Сократить дроби 𝟐𝟒/𝟑𝟔 = 𝟐/𝟑 или 𝟑𝟗/𝟔𝟓 = 𝟑/𝟓. Это и следующие задания только для относительно продвинутых учеников. На этом примере часто сыплются представители механических систем устных вычислений, вроде ментальной арифметики. Здесь нужно не просто что-то в явном виде посчитать, а скорее знать разложение на множители. И если в первом случае можно просто делить на 2, на 3 или сразу на 6 (если ученик делит сразу на 12 – это хороший знак), то во втором случае сокращением через деление не отделаться. Тут нужно больше з н а т ь, что 39 = 3 ⋅ 13 и 65 = 5 ⋅ 13. Если ученик это знает, что скорее всего у него неплохие навыки устного счёта.
И ещё. В диагностике явно прописано, что нужно сократить дробь, поэтому ученики заведомо знают, что её м о ж н о сократить. Это небольшая неявная подсказка. Если же такая же дробь появится где-то в промежуточных вычислениях, значительно меньшее количество учеников заметят, что эта дробь сократима. Однако, можно использовать вместо этой задачи одну из расширенных её версий: «Сократите дроби: 26/50, 26/51, 26/52» или «Сократите дроби: 17/51, 18/51 и 19/51». Здесь не так очевидна сократимость. И лучше вначале проверить понимает ли ученик, что такое дробь и сокращение дробей. В некоторых случаях достаточно попросить сократить дробь 4/6, 6/10 или 6/9.

𝟐𝟎𝟎𝟑 ⋅ 𝟗 = 𝟏𝟖𝟎𝟐𝟕 или 𝟓𝟒𝟑𝟔 : 𝟗 = 𝟔𝟎𝟒. Проверяем умение раздробить число на два слагаемых. В первом случае удобно 2003 мысленно представить как 2000 и 3, их отдельно домножить на 9 и результаты сложить. Во втором примере смотрим, дробит ли исходное число на 5400 и 36 (когда дробят при делении – это довольно продвинутый уровень). Если делит столбиком, следим за нулём.

𝟖 ⋅ 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 и 𝟏𝟓² = 𝟐𝟐𝟓. Две задачи на быстрый устный счёт, где важно простое знание ответа. Обычно те, кто набил руку в вычислениях, отвечают на них сразу. Первое косвенно указывает на хорошие навыки перевода обыкновенной дроби в десятичную (выше был схожий вопрос про 4 ⋅ 25 = 100). Второй пример косвенно показывает, умеет ли строить стандартную параболу (1,5² очень часто там используется). Если не знает наизусть, то скорее всего не знает и таблицы квадратов чисел до 20 и имеет трудности с квадратичной функцией.

***

Теперь небольшие комментарии к самой диагностике.

Первый уровень имеет смысл давать ученикам, которые имеют очевидные серьёзные пробелы в математике. Второй уровень – тем, кто в целом нормально оценивает свои навыки счёта. Если ученик сразу очень легко выполняет задания первого уровня, то можно не тратить время и дать второй. Если же изначально ученик взялся за сравнительно более сложные задания и решения идут очень туго, то лучше переключится сначала на более простые.

В самой диагностике конкретные числа не так важны, их можно за пять минут заменить на другие. В первую очередь обращаем внимание на то, как ученик выполняет задания. Поэтому важно после диагностики обсудить полученные результаты и то, как школьник к ним пришёл.

Если школьники застревают на первых пяти примерах, имеет смысл проверить счётные навыки первого класса: сложение и вычитание круглых десятков, весь счёт в пределах 20 (особенно переходы через десяток), разбиение чисел в пределах 10 и пр.. Также следует проверить понимание умножения как многократного сложения и задать пару примеров на конструкции вроде больше на/в, меньше на/в, увеличить на/в, уменьшить на/в.

Если мы изначально понимаем, что ученик в целом хорошо умеет считать, то можно проверить насколько у него продвинутые навыки счёта, дав ему содержательное задание на деление, например, пятизначного числа на трёхзначное. Если удаётся разделить, то скорее всего у него хорошо развит навык устного счёта.

Если сильных затруднений в исходной диагностике не было, можно дать диагностику на дроби.


Иногда косвенно оценить навыки счёта ученика помогает его математическая речь. Если он при решении задач говорит что-то вроде «плюсую однёрку» вместо «добавляю/прибавляю единицу/один», то это с высокой вероятностью указывает на слабые вычислительные навыки.

Нужно учитывать, что диагностика всех проблем не показывает. Даже если лишь пару задач не удалось решить, лучше полностью пройти курс постановки вычислений с нуля (обычно с конца 2 класса — с внетабличного умножения). Иногда для этого достаточно пары занятий. У некоторых школьников навык счёта был поставлен в начальной школе, но они просто могли что-то забыть.


После этой диагностики можно понять с какого класса следует ставить вычислительные навыки. Более предметно мы поговорим об этом в следующих статьях.

ЗАДАЧНИК КАНАЛА «VАLERY VOLKOV»

Почти два года назад мы сделали задачник по одному из самых больших и популярных ютуб-каналов с разбором задач «Valery Volkov».

Сейчас мы его значительно обновили.

Основная идея осталась той же самой. В прикреплённом документе вы, как всегда, увидите перечень задач, собранный по разделам, с указанием ссылок на видеоразборы решений.

При этом в новой версии произошли следующие изменения:
1. Теперь задачник полностью свёрстан в Latex. Это означает более удобную навигацию и эстетически более приятную работу с ним.
2. Добавили все материалы по алгебре, которые вышли на канале с момента прошлого релиза в октябре 2020 года. Теперь в текущей версии задачника собраны все алгебраические задачи с момента основания канала по 03.07.2022.
3. Если встречались задачи, которые отличаются лишь численными данными, то мы оставляли только одну из них. Решения остальных выносили в отдельную небольшую сноску.
4. Добавили раздел «Функциональные методы», а также расширили раздел «Последовательности и прогрессии».

В задачнике получилось около 1500 задач.
Объем материала большой, поэтому при составлении методички возможны неточности. Если обнаружите какие-либо ошибки или опечатки, пишите о них в сообщения группы. В следующем релизе мы их исправим.

Благодарю моего друга [club135395111|Wild Mathing] за помощь в вёрстке документа. Кстати, рекомендую его группу [club201568161|Wild Mathing — преподавателям]. Именно там я нашёл ответы на большую часть своих вопросов по Latex.
И, конечно же, хотел бы сказать большое спасибо [id224349278|Валерию Волкову] за создание подобной базы видеоуроков. Я получил огромное удовольствие от работы с его видео. Надеюсь, созданная методичка поможет в продвижении его канала среди школьников.

Итак, друзья, после небольшого перерыва мы возобновляем работу нашей группы.

1. С этого учебного года посты будут выходить чуть реже. Если в течении двух последних лет мы старались выпускать записи раз в 2-3 дня, то из-за текущей загруженности такой темп держать скорее всего не получится. Да и основной корпус статей уже выложен и дальше будет развитие тех идей, о которых мы говорили ранее. Кстати, некоторые статьи (особенно различные подборки) постоянно дорабатываются, поэтому чтобы разобраться в каком-то вопросе, достаточно просто воспользоваться каталогом из прикреплённого поста.

2. В самом начале проекта в нашей группе было несколько авторов. Сейчас же из-за тотальной нехватки времени и из-за участия в других проектах только у одного из нас есть возможность развивать группу. То есть все следующие посты будут написаны от моего имени - тренера Романа. Соответственно и по многим спорным вопросам будет высказываться лишь мое весьма субъективное мнение, которое иногда может не совпадать с некоторыми прошлыми записями.

3. Тематика и цель группы остаётся той же. Как и раньше я буду работать над повышением общего уровня знания математики для учеников старших классов. Но если раньше мы ориентировались на абитуриентов, сдающих ЕГЭ, то теперь я иногда буду выкладывать статьи для учеников 8-9 классов причём очень разного уровня. В том числе для тех, кто до сих пор не знает таблицу умножения и складывает двузначные числа на калькуляторе.

4. Запланирована ещё серия статей по основам школьного математического образования. Тема достаточно сложная и узкая, но очень важная. Не всем она будет понятна (даже учителям в некоторых моментах), но всё же я хотел бы показать, что это тоже очень интересное направление для работы.

5. В прошлом учебном году были запросы на личные занятия со мной. Друзья, я всегда стараюсь помочь с подготовкой и при чётко сформулированных вопросах готов развёрнуто ответить на них в личных сообщениях. Но, во-первых, места для индивидуальных занятий почти всегда заняты наперёд. А во-вторых, я обычно занимаюсь только с теми, кто приходит по знакомству от моих прошлых учеников. Вы можете мне написать по поводу занятий, но сторонних учеников я рассматриваю только в исключительных случаях.

6. Что ж, удачи всем нам! Надеюсь, этот год будет таким же продуктивным, как и все предыдущие.

ГЛАВНАЯ ОПОРА

В прошлом посте мы говорили про благодарность учителям.

Это один из важных элементов для старта развития навыка обучения.

Но мы не упомянули про другую важную установку, без которой не будет прогресса в любой деятельности.

Это благодарность родителям.

Семья – это ресурс, который больше всего недооценён старшеклассниками.

Помощь родителей некоторым кажется само собой разумеющейся и в принципе ни к чему не обязывающей.

Более того, порой у школьников бывает дефектная установка на то, что родители якобы должны были что-то дать и недодали. В отличие от родителей их друзей.

Есть ещё более вредная установка, что мол, помощь родителей нужна больше им, а не вам. Но, надеюсь, среди подписчиков нет старшеклассников с таким настроем. Потому что при таком подходе дальнейшие посты на тему техник прокачки учёбы вам только навредят.

Давайте посмотрим на факты.

Родители вкладывают в вас большое количество материальных и эмоциональных сил.

Одежда, еда, жильё (аренда, ипотека), учёба и отдых требуют серьёзных затрат.

Возможно, сейчас вам этого всего не так видно. Но попробуйте предметно поговорить с родителями на тему семейного бюджета. Очень много интересного узнаете.

Одна моя коллега вообще настаивает, что подготовка к экономической задаче на ЕГЭ должна по-хорошему начинаться с изучения школьниками платёжки ЖКХ.

Дальше.

Единственными людьми, которые искренне и безвозмездно хотят вам добра, это ваши родители. Остальные, если и будут вам помогать, то только преследуя какие-то свои цели.

Именно ваши мать с отцом не позволяют вам заплывать за буйки во многих обстоятельствах. А то и вовсе настаивают, что лучше не лезть в воду в шторм.

Это ваши корни, которые помогают вам выстоять при любом урагане.

По сути, рецепт успеха в учёбе, как и в любой другой деятельности, прост. Он состоит в том, чтобы стать самому себе родителем. То есть сделать так, чтобы опора на родителей постепенно сменялась вашими внутренними опорами.

Как это делать конкретно мы ещё позже поговорим.

Но сейчас вам нужно понять следующее.

Помимо установки на благодарность вашим учителям, у вас должна быть установка на благодарность родителям. Но если в первом случае достаточно просто тепло сказать «спасибо» преподавателям, то в случае с родителями одних слов будет недостаточно. Это как раз тот случай, когда слова мало что значат.

Ваша благодарность должна быть деятельной.

Часть учеников, соглашаясь с важной ролью родителей в их жизни, сокрушаются, что не могут отблагодарить их сейчас… Мол, вот вырасту, буду зарабатывать много денег, вот тогда и щедро отблагодарю.

А сейчас – извиняйте…

Однако, всё происходит ровно наоборот.

Сначала вы начинаете по мере сил помогать родителям в повседневных бытовых делах, а потом вы становитесь на ноги и начинаете зарабатывать больше.

Эта связь неочевидная, но она есть.

Что же делать сейчас? Как помогать родителям, если пока нет объективной возможности жить отдельно самостоятельной жизнью или зарабатывать деньги для их поддержки?

На первых этапах вам нужно постепенно облегчить жизнь родителей и заменить их опеку на самостоятельную опеку над собой. Такие вещи как уход за личным пространством, забота о своём режиме, о своём здоровье должны стать не сферой ответственности родителей, а сферой вашей ответственности.

Конечно, было бы хорошим ходом сразу начать помогать c бытовыми вопросами. Помогать с ремонтом или присматривать за младшими братьями или сестрой. Кто-то из вас может быть даже сможет помочь в работе.

Но для начала вам желательно научиться делать простые вещи, касающиеся хотя бы своего самообслуживания.

Например, научиться готовить что-то сложнее лапши быстрого приготовления. Или делать регулярную уборку своей комнаты. А если таковой нет, то хотя бы своего рабочего стола.

Многие подростки вообще считают, что поддержка родителей только тяготит. Обычные мысли старшеклассника: «Потерплю как-нибудь, а потом получу билет на свободу».

Отсюда мысли и о том, что, мол, родители токсичные, т.к. заставляют прибраться в комнате. Что душат своим контролем, когда просят позвонить, если вы задержались в гостях. Что ограничивают свободу, если не дают играть по 8 часов в сутки.

Но есть лайфхак, как можно снизить подобную «гиперопеку».

Родители всегда снижают уровень претензий и требований, как только видят в вас зачатки самостоятельности и разумности.

Если вы можете приготовить себе поесть, погладить себе одежду, постирать. Да даже банально просто начинаете следить за своим внешним видом.

Как только вы начинаете предметно заботится о себе, это становится по крайней мере разгрузкой для родителей. И к вам начинают относиться как действительно взрослым людям, которыми вы по факту становитесь через эти поступки.

Но если вас оставили на несколько дней одних, а вы провели их за компом и питались только чипсами с дошираком, то какие вопросы могут быть к родителям?
Готовы ли вы в таком случае (например, после поступления) к переезду в другой город на учёбу? Вы вообще выживете в том же общежитии?

Кстати, ещё такой момент.

Главная деятельность в школе (и в частности, в старшей школе) – это учёба. Все ваши силы и силы семьи направлены на то, чтобы вы выпустились и поступили в хороший вуз, чтобы уже там продолжить образование.

Поэтому родители стараются не нагружать детей домашней работой.

В целом это в некоторых случаях может быть правильно.

Но это значит, что вы должны все свои силы отдавать учебной деятельности. Освобождая вас от бытовых вопросов, родители надеются, что хотя бы ответственность за учёбу вы возьмёте на себя.

Поэтому огромный косяк с вашей стороны, когда родители оплачивают вашу дорогостоящую учёбу, а вы не выполняете требования учителей или репетиторов.

И да, они не обязаны вообще нанимать вам персональных преподавателей.

Это жест доброй воли с их стороны.

Если кров, одежда, еда для подростка определенного возраста как-никак входят в сферу ответственности родителей (да и то вы должны стараться это как-то компенсировать помощью на вашей общей территории), то опция найма репетиторов является сугубо дополнительной.

И не нужно думать, что всё сказанное выше очередной груз у вас на ногах.

Вы должны спокойно осознать роль своих родителей в вашей жизни. И это осознание не должно сопровождаться грустным вздохом, как ответ на очередные наставления.

Как только вы понимаете объективную необходимость, как только вы осознаёте все свои обязанности, как только вы понимаете правила, по которым живут люди вокруг, вы становитесь сильнее. И начинаете продуктивнее действовать в рамках этих обстоятельств.

Ни в коем случае у вас не должно быть пользовательского или паразитическое отношения к родителям.

Лучше даже представлять это как кредит.

Те силы, которые в вас вкладывают родители, понимаете вы это или нет, вам предстоит окупить.

И как только вы прочувствуете, насколько это большая радость – помочь родителям хоть в чём-либо, – вы получите огромный заряд энергии.

Сейчас, когда начинаются по-настоящему тощие времена, это особенно важно.

Ну а пока научитесь самостоятельно убираться в собственной комнате и готовить простую еду.

И ещё одна ремарка, связанная с моим недавним опытом работы.

Некоторое время назад я преподавал математику в центре помощи детям-сиротам. Это отдельный мир со своими особенностями. Вопросы психологии отношений опекунов и детей стоят там особенно остро.

Я не знаю, есть ли среди читателей молодые люди, которые находятся под опекой приёмных родителей или живут в детдоме с воспитателями. Но всё же отмечу важную вещь.

Родители – это больше социальная роль, нежели биологическая. Всё, что описано выше касается вас и тех, кто по факту является для вас родительской фигурой. Вам нужно осознать, кто вам действительно помогает материально и эмоционально. Кто выставляет вам некоторые рамки, которые не позволяют вам скатиться в пропасть.

И само собой стараться их также деятельно благодарить.

ПОЧЕМУ ШКОЛЬНИКИ НЕ УМЕЮТ СЧИТАТЬ? ПРИМЕР УЧЕБНИКОВ ПЕТЕРСОН.

В последних выпусках догоняющей математики мы подробно обсудили, как нужно действовать ученикам в старшей и средней школе, если они хотят освоить счёт в пределах сотни.

Но почему вообще возникает необходимость в подобных советах? Как так получилось, что огромное количество школьников не владеют арифметикой уровня 2-3 класса?

Отвечая на эти вопросы, обычно просто ссылаются на общее падение уровня образования.

Кто-то пытается разобраться, в чём причины этого падения. И здесь уже вспоминают про дефицит педагогов, про бумажную нагрузку, про дистант, про бессмысленные школьные мероприятия, про низкую зарплату и пр.

Это всё серьезные причины снижения качества образования. Учителя просто не успевают нормально выполнять свою работу.

Однако, в то же время у многих болеющих за образование людей возникает иллюзия, что решение лежит на поверхности: что для исправления ситуации достаточно просто повысить зарплаты учителям, снизить бумажную нагрузку, поднять престиж профессии и пр. В общем, если сделать так, чтобы учителя имели возможность спокойно преподавать, то вот тогда-то дети точно не будут путаться в элементарных вычислениях.

Однако, проблема глубже, чем кажется на первый взгляд.

На самом деле школьники не умеют считать, потому что их просто не учат этому.

Это может показаться на первый взгляд странным. Ведь школа худо-бедно, но даёт какие-то навыки счёта. Но если посмотреть повнимательнее современные школьные программы, то можно убедиться, что в них делают всё, кроме самого главного – обучения детей арифметике.

Давайте разберёмся, чему же на самом деле хотят научить наших детей составители программ.

Для примера возьмем два популярных методических комплекса: Л.Петерсон и Э.Александровой. Учебники первой интересный тем, что являются одними из самых противоречивых. Одни считают их гениальными, думая, что через них дети быстрее постигнут "настоящую" математику. Другие считают, что задания в этих пособиях бессистемны и непонятны.

Пособия Э.Александровой же стоит рассмотреть хотя бы для того, чтобы понять, что такое развивающее обучение и как оно работает в математике начальной школы. Эти учебники принадлежат системе Эльконина-Давыдова, которые в свою очередь являются авторами теории развивающего обучения (ТРО). Именно на их идеях основан современный ФГОС.

Итак, давайте начнём с учебников Петерсон.

Многим родителям они не нравятся, так как задания кажутся бессистемными и сложными для детского возраста. Но всё же надо признать, что обвинения в хаотичности немного поверхностны.

В основе этих учебников есть много идей, которые автор последовательно пытается через свои задания донести до детей.

Другое дело, что сами эти идеи очень и очень спорные.

Попробуем коротко их описать.

Главный упор всей линейки делается на теоретико-множественный подход. То есть по мнению автора этих учебников суть математики – это операции над множествами. И нужно как можно быстрее перейти к работе со множествами на формальном уровне. А чтобы детей приучить к действиям над множествами, всё подспудно сводят к этим математическим объектам.

Тем самым задания, которые кажутся нам разношёрстными, на самом деле заточены именно под эту задачу. Так, например, многочисленные задачи на соотношение части и целого нужны, чтобы перейти к таким математическим сущностями, как множество и подмножество.

Или тема сложения и вычитания.

Мы привыкли, что эти арифметические действия вводятся через отсчитывание или присчитывание отдельно стоящих предметов. Но у Петерсон они вводятся в более абстрактной форме – как разность и объединение множеств. Причем эти множества разноплановы: буквы, отрезки, плоские фигуры и пр. И обратите внимание, это всё идёт в самом начале. Сложение и вычитание в таком виде даётся до того, как дети познакомились с числами.

А до этого детей учат качественным отличиям предметов. Тоже вроде кажется разумным. Школьники учатся понимать, что у предметов есть разные свойства. Но опять же это сделано лишь для того, чтобы перейти к подмножествам предметов.

В начале же про числа нет никакой речи. Школьников приучают к правилам подобной игры. В ней, например, ПИЛА и ЛИПА оказываются равны, т.к. это не последовательности букв, а их совокупности.

И после пятнадцати занятий школьникам, наконец, рассказывают про числа и цифры.

Но как!

В классической методике мы просто соотносим число 1 с отдельно стоящим предметом. Число 2 с парой отдельных предметов и т.д.

У Петерсон всё не так.

Цитирую как в методических материалах к учебнику вводится число 1: «Общее свойство у всех мешков, которые содержат по одному предмету, называется один». [1, c.68]

Здесь мы снова видим очевидный заход через теорию множеств: единица сопоставляется со всеми множествами, которые содержат один элемент.

Далее число 2 - это общее свойство групп содержащих по два предмета, число 3 - это общее свойство групп содержащих по три предмета. И так по всем числам до десяти.

Сам счёт трансформируется тоже лишь для того, чтобы на нём объяснить детям какие-то принципы из теории множеств. Например, присчитывание и отсчитывание выполняются с помощью отрезков, а не с помощью единиц (отдельных однородных предметов). А сравнение чисел производится через взаимно-однозначное соответствие: дети строят пары из элементов множеств, если что-то осталось лишним без пары, то такое множество больше.

Казалось бы, какая разница: через теорию множеств или как-то более классическим способом учить детей? Но какую вы сформируете базу, на том вы и будете строить обучение в дальнейшем. И счет тоже будет ставится с учётом заложенного фундамента.

Например, простая задача для первого класса: У Маши 2 тетради, у Пети 3 тетради. Сколько всего у них тетрадей?

У Петерсон эта задача решается так. Дети рисуют схему, на которой даны два отрезка вместе. Подписывают их цифрами. И подписывают цифрой объединение этих отрезков. [1,c. 105]

Можно было бы понять, если это сделано для расстояний (и то нежелательно всегда рисовать для этого схему), то для счётных задач на единичные предметы такой подход вреден.

Теперь посмотрим, как происходит обучение детей сложению вне пределов 10.

Сложение через десяток ведётся через поиск закономерностей в таблице сложения. То есть сначала рисуется определенная табличка. В ней заполняются известные числа, а потом школьники с помощью учителя догадываются, как дальше нужно заполнять её. И вместо того, чтобы соотносить арифметические действия с реальными операциями над объектами, школьникам неявно показывают, что счёт содержит в себе элементы загадочности.

Но наиболее ярко дефекты постановки навыков счёта проявляются в сложении/вычитании двузначных чисел. Пропустим тот факт, что чуть раньше умножение вводится как укрупнение единиц счёта (?) и факт, что оперирование с десятками происходит через графические модели (вместо десятка реальных единичных предметов, школьники оперируют треугольниками).

Приведём цитату из описания к уроку во 2 классе [2, c. 49]:
«На индивидуальных листках у детей записаны примеры: 32 + 7 = ; 52 + 17 = ; 48 – 14 = ; 96 – 20 = ; 29 – 21 = ; 73 + 25 = ;
Учитель предлагает детям решить их, используя любой из изученных приемов, но как можно быстрее. Побеждают в игре первые трое, кто решит все примеры правильно. В завершение этапа актуализации знаний фиксируется неудобство известных способов записи примеров с точки зрения скорости вычислений.
Например, можно спросить ребят:
— Кто из вас рисовал графические модели, числовой отрезок? (Никто.)
— Почему? (Это слишком долго.)
— А можно ли упростить запись этих примеров, чтобы быстрее и удобнее было считать?
Вероятно, мнения детей разделятся. При постановке проблемы учащиеся должны догадаться, что в записи, которую мы используем, считать тем удобнее, чем ближе друг к другу записаны десятки обоих чисел и единицы этих чисел.
После этого ставится цель: придумать такую запись примеров, чтобы десятки одного числа находились поближе к десяткам другого числа, а единицы — к единицам. Тема остается прежней: «Сложение и вычитание двузначных чисел».
Для открытия нового знания учитель использует подводящий диалог.
— Итак, какой способ записи примеров нам нужно найти? (Чтобы десятки располагались как можно ближе к десяткам, а единицы — к единицам.)
— Попробуйте найти свой вариант такой записи, например, для суммы 52 + 17. Учащиеся выходят к доске со своими вариантами.
Если сразу они не догадаются записать в столбик, можно их спросить:
— А поближе расположить цифры никак нельзя? В конце концов кто-либо из детей предложит обычную запись в столбик
— Молодец, научил нас такой удобной записи: единицы и десятки стоят теперь рядом, можно быстро считать и никак не запутаешься. Эту запись часто используют в вычислениях и называют записью «в столбик». Итак, целесообразность записи в столбик заключается в том, чтобы расположить цифры одинаковых разрядов поближе друг к другу. В результате беседы учащиеся должны четко это осознать.»

То есть уже во втором классе детей целенаправленно приучают к сложению в столбик двузначных чисел!

Причём учат считать столбиком на примерах, которые не требуют перехода через десяток. Хотя их нужно считать только устно и по другой схеме, сохраняя понятие десятка как пучка из десяти отдельных объектов.

В итоге ученики думают, что «сложить в уме» означает «представить в голове столбик и сложить». Тем самым даже простые примеры, вроде 235+446 потребуют от них значительных усилий, хотя при правильно поставленном устном счёте они должны решаться с лёту.

Другой дефект постановки навыка счёта в этом УМК раскрывается при изучении таблицы умножения.

Авторы настольно увлекаются и увлекают детей поиском закономерностей, что прежде, чем хорошо проработать действие умножения и прежде, чем закрепить его через решение текстовых задач, они сразу дают детям таблицу умножения и делают упор именно на неё.

У детей формируется деформированное представление об умножении, как о действии, результат которого можно в первую очередь посмотреть в таблице.

Ну и вишенка на торте – то, как автор учит умножать школьников на 9.

Цитата из учебника (2 класс, 3 часть, урок 11, стр. 33:
«Положи обе руки на стол и запомни номера пальцев. Чтобы умножить число на 9, можно найти палец с таким же номером и сосчитать, сколько пальцев слева и справа от него. Число пальцев слева показывает цифру десятков, а справа – цифру единиц произведения».
Рядом с этим «гениальным» методом умножения весьма показательно нарисован клоун.

К сожалению, это настолько вредный способ, что часть учеников даже в старших классах именно так вспоминает умножение на 9…

Об учебниках математики в системе Эльконина-Давыдова мы поговорим в следующий раз.

[1] Людмила Петерсон: Математика. 1 класс. Методические рекомендации к учебному пособию. ФГОС.
[2] Людмила Петерсон: Математика. 2 класс. Методические рекомендации к учебному пособию. ФГОС.

ВНЕТАБЛИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ

Восстановление вычислительных навыков мы начали с самых азов.

Однако, надо признать, что пока ситуация со школьным образованием не совсем плачевная и большинство учеников в 8-9 классах всё-таки умеют складывать в уме двузначные числа и знают таблицу умножения. И хотя налицо негативная тенденция и школьников, не владеющих этими навыками, становится с каждым годом больше и больше, всё же в целом школа пока справляется с этой своей задачей.

Однако, это не значит, что те же самые школьники умеют уверенно считать хотя бы в пределах сотни.

Например, умение устно умножать и делить двузначные числа уже перешло в массовой школе в разряд необязательных и даже продвинутых навыков. Поэтому чаще всего именно с так называемого «внетабличного» умножения приходится стартовать при проблемах с вычислительными навыками.

Итак, внетабличное умножение.

Для того, чтобы понять, что школьник плохо им владеет, достаточно попросить устно перемножить 12 на 8 и уточнить, как именно он умножал. Если начинает с единиц и представляет в голове столбик, то скорее всего его нужно будет заново переучивать умножать. Иначе такому ученику очень сложно будет делить, например, 84 на 7. А деление 72 на 18 и вовсе останется для него недоступным, как и более сложные примеры вроде сокращения дроби 34/51.

Кстати, последнюю дробь можно использовать в качестве быстрой диагностики внетабличного умножения и деления; если ученик без проблем сокращает, то скорее всего в этой части его навык устного счёта вполне развит.

Прежде, чем учиться внетабличному умножению и делению, само собой нужно уметь складывать/вычитать числа в пределах сотни, а также знать таблицу умножения. Об этом мы подробно говорили в предыдущих статьях.

Первый разминочный шаг – простое умножение и деление круглых десятков. То есть задания вроде 20 ⋅ 3 и 80 : 4. Здесь обычно трудностей не возникает.

Однако, важно, чтобы эти круглые десятки мыслились именно как десятки, а не просто как запись цифры и рядом нолика. Можно даже на этом этапе для большей наглядности поработать с физическими объектами вроде пучков палочек-единиц, собранных в десятки.

Дальше умножение двузначных чисел на однозначное число. Главное правило: сначала десятки, потом единицы.

То есть чтобы посчитать 13 ⋅ 7, мы должны сначала умножить 10 на 7, потом 3 на 7, а потом результаты сложить. Последовательность именно такая.

Первые несколько примеров (вроде 12 ⋅ 4 или 23 ⋅ 3) можно сделать без перехода через десяток, но всё равно акцентируя внимание на том, что сначала мы умножаем десятки. Даже если для таких простых примеров порядок действий пока не так критичен.

Особенно обращаем внимание на популярные в дальнейшем случаи умножения, такие как 12 ⋅ 2, 12 ⋅ 3, 12 ⋅ 4, 12 ⋅ 5, 12 ⋅ 6, 15 ⋅ 2, 15 ⋅ 3, 15 ⋅ 4, 15 ⋅ 5, 15 ⋅ 6, 16 ⋅ 2, 16 ⋅ 3, 16 ⋅ 4, 16 ⋅ 5, 18 ⋅ 2, 18 ⋅ 5, 25 ⋅ 2, 25 ⋅ 3, 25 ⋅ 4, 35 ⋅ 2, 36 ⋅ 2, 45 ⋅ 2, 48 ⋅ 2. Умножение на 11 само собой не должно вызывать трудностей.

Эти примеры с определенного момента нужно не просто считать, а просто знать результат (как с таблицей умножения)

Дальше идёт внетабличное деление.

Начинаем с простых примеров и по возможности иллюстрируем их действиями с пучками-десятками.

Например, делим 48 на 4. Сначала делим 40 на 4, потом 8 на 4, а потом результаты складываем. Важно не только указать, что сначала мы делим десятки, но и понять, что в этих примерах нам без проблем удалось ровно разделить эти самые десятки.

Потому что дальше мы будем рассматривать случаи, когда десятки не делятся.

Например, пробуем разделить 70 на 2. Если в живую взять семь пучков-десятков и попробовать разделить их поровну на двоих, то возникнут трудности. Шесть десятков легко разделятся (по три десятка), но останется еще один не разделенный. Тогда мы его распускаем до единиц и уже десять единиц легко делим на двоих (каждому по пять). В итоге после деления получится число 35.

То есть мы сначала ищем какое количество десятков удаётся разделить, а потом делим оставшиеся единицы.

Удобно дальше рассмотреть задания вроде 60 : 4, 90 : 6 или 80 : 5, чтобы точнее понять последовательность действий. Здесь особенно интересует подбор нужного удобного количества десятков.

После этого уже можно приступать к более сложному делению на однозначное число. То есть когда делимое не является круглым числом, а содержит ещё и единицы.

Например, 72 : 6. Мы снова начинаем деление с десятков. Сначала пробуем разделись семь десятков, но убеждаемся, что ровно получится разделить только шесть десятков. После этого остаётся 12 единиц, которые легко делятся на 6.

То есть, решение будет таким 72 : 6 = (60 + 12 ) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 = 10 + 2 = 12.

Здесь я для наглядности делаю запись в строку, но в реальности на начальном этапе мы с учеником аккуратно выписываем действия по порядку.

К слову сказать, обычно самая большая трудность заключается именно в том, чтобы подобрать изначально правильное количество десятков. Особенно тяжело это даётся тем ученикам, которые в своё время не пособирали палочки в пучки и в следствие этого не мыслят двузначное число как набор определенного количества десятков и единиц.

Ну а дальше идёт деление двузначного числа на двузначное.

Сначала решаем примеры вроде 80 : 20 или 90 : 30.

К сожалению, старшеклассники просто в этих заданиях зачёркивают лишние нули. Для таких примеров это не критично. Но всё же важно, чтобы школьники понимали деление ещё и как подбор подходящего множителя.

Например, при делении 72 на 12 мы на самом деле ничего не делим. Мы просто в голове подбираем такое число, которое при умножении на 12 даёт 72.

И вот тут начинает в полную силу работать правило «сначала десятки, потом единицы». Ведь мы должны быстро прикинуть адекватное число десятков. А если ученик при таком подборе начинает умножать с единиц, то он тратит на это очень много времени. Если вообще, конечно, досчитывает до правильного результата.

Во всех этих случаях важно на начальном этапе делать записи действий и лишь потом переходить от письма к устному счёту. Часть учеников, совершают очень коварную ошибку. «Поняв» как нужно правильно считать примеры на внетабличное умножение, сразу стараются перейти к устным вычислениям.

Но нужно пройти обязательный этап записей и лишь потом двигаться дальше.

После того как этап с записями будет пройден, дальше нужно будет проговаривать свои вычисления вслух и лишь потом про себя. Это позволит закрепить правильную схему действий.

На этом алгоритмический этап работы с первичной постановкой навыков заканчивается. Здесь мы просто изучили (или вспомнили) как правильно нужно действовать при решении этих примеров. Далее все подобные задания на устный счёт постепенно переносятся на пятиминутку устного счёта в начале занятия, усложняются и в конечном счёте становятся автоматическим навыком.

Усложнение происходит в двух направлениях.

Первое – это разложение на множители некоторых из примеров. То есть школьники должны без проблем суметь представить, например, число 48 не только как 6 ⋅ 8, но и как 12 ⋅ 4, 16 ⋅ 3 и 24 ⋅ 2. По сути, в этом пути нужно прийти к тому, чтобы дроби вроде 26/65 ученик сокращал без затруднений, подбирая в голове сразу удобное разложение на множители.

Второе направление – движение в сторону именно устных вычислений с тренировкой удерживания чисел в голове.

Дело вот в чём.

Школьник в принципе может научиться довольно быстро вычислять эти примеры, когда они у него перед глазами. Видя перед собой пример 12 ⋅ 7 = , он легко удерживает внимание на нём. Однако, нужно стремиться, чтобы в голове у школьника формировалось поле чисел от одного до ста с различными операциями между ними. Поле не в общепринятом научно-математическом смысле, как понятие из высшей математики, а как набор чисел, в пределах которых он может легко вычислять.

Для этого нужно не просто давать явные примеры, но и делать так, чтобы внетабличное умножение выполнялось с числами, которые напрямую не записаны.

Я имею в виду примеры вроде (27 + 18) : 5 или 48 : (22 - 6). И более сложные вроде (15 + 3) ⋅ (11 - 6) и т.д.

Это, кстати, касается и примеров на сложение и вычитание двузначных чисел из предыдущих статей. Недостаточно ограничиваться примерами вроде 25 + 36. Нужно ещё разбавлять их заданиями вроде 8 ⋅ 2 + 37.

Сами же задания можно взять из любого классического учебника начальной школы, который учит школьников считать, а не учит «мыслить в понятиях» или «учит учиться». Или же просто придумать их самому, если вы репетитор или родитель, который хочет помочь своем ребёнку.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В ПРЕДЕЛАХ СОТНИ

Итак, сначала мы научимся правильно (а потом и устно) складывать и вычитать двузначные числа в пределах сотни.

К сожалению, многие ученики так привыкают к письменным вычислениям в столбик, что даже задания на устный счёт выполняют только на бумаге.

Я имею в виду примеры вроде 28 + 37 = 65 и 57 - 18 = 39. Такие задания являются той лакмусовой бумажкой, по которой становится понятно, умеет ли ученик считать. Они относительно трудны в сравнении с другими вычислениями в пределах сотни, но их тоже нужно учиться выполнять в уме.

Довольно часто именно отсюда приходится начинать постановку вычислительных навыков. Даже если ученик и может выполнить такие задания в уме, то обычно он представляет в голове столбик и, держа в голове такую графическую запись, складывает начиная с единиц.

Для небольших примеров это может быть не так заметно. Проблемы начинаются тогда, когда нужно быстро посчитать 2600 + 5500 или 2629 + 5537. Тут в голове держать графическую запись становится очень мысленнозатратно.

Конечно, бывают и совсем экстремальные случаи. Часть учеников пробует посчитать столбиком даже 15-7 или 30+60. Но пока про такие ситуации мы не говорим. Будем считать, что сложение и вычитание в пределах 20, а также сложение и вычитание круглых десятков ученик выполняет уверенно.

Начнём со сложения. Здесь главный принцип такой: сначала десятки, потом единицы!

Сначала пробуем сложить числа вроде 25 и 40. Обращаем внимание на том, что мы дробим 25 на десятки и единицы (то есть на 20 и 5), а потом прибавляем 40 к 20. То есть 25+40=20+5+40=(20+40)+5 =60+5=65.

Потом вычисляем 35+3. Этот пример проще чем предыдущий, и тут обычно никаких проблем не возникает. Обязательно нужно проговорить, что сначала мы оставляем 30 (или три десятка) в стороне и работаем с единицами (то есть складываем пять и три). Но первый шаг всегда предполагает работу с десятками.

Следующий шаг – дробление обоих слагаемых, при этом итоговая сумма единиц не переходит через десяток. 37+42=(30+7)+(40+2)= (30+40)+(7+2)=70+9=79.

Дальше отдельная работа с переходом через десяток:
34+6=(30+4)+6=30+(4+6)=30+10=40
67+5=(60+7)+5=60+(7+5)=60+12=72

В завершении то же самое, но уже оба числа двузначные.

Сначала сумма единиц даёт десяток: 23+67 = (20+3)+(60+7) = (20+60)+(3+7)=80+10=90

И, наконец, самый трудный случай из этой цепочки примеров на сложение – два двузначных числа с переходом через десяток: 26+48=(20+6)+(40+8)=(20+40)+(6+8)=60+14=74.

На этих несложных примерах нужно приучить себя к тому, что сначала мы работаем с десятками. Кажется, что нет разницы. Действительно, почему бы не начинать с единиц? Для некоторых простых примеров это так, но потом в более сложных примерах с натуральными числами (в первую очередь задания на внетабличное умножение) и с дробями будут использоваться схожие принципы. К тому же, во многих задачах нужно уметь быстро и с высокой точностью оценить результат, а для этого следует начинать счёт именно со старших разрядов. Или же вот такой пример на сложение трёхзначных чисел: 437+256 мы складываем в уме 400+200 и 37+56. То есть нужно уметь быстро разложить число на сотни и всё остальное.

Если же всегда идти от единиц, то это может поставить барьер для дальнейшего овладения устным счётом.

В общем, для двузначных чисел нужно учиться сразу начинать с десятков, хоть поначалу это может показаться неэффективным.

Теперь вычитание.

Начинаем с такого примера: 75-30=(70+5)-30=(70-30)+5=45. Снова акцент на то, что сначала работаем с десятками.

Далее 65-3=(60+5)-3=60+(5-3)=60+2=62. Здесь трудностей обычно не возникает, но обращаем внимание на то, что мы снова дробим первое число на десятки и единицы.

Далее вычитаем без перехода через единицы. И снова – сначала десятки, потом единицы. 45-13=(40+5)-(10+3)=(40-10)+(5-3)=30+2=32.

Далее случаи, когда единицы у вычитаемого больше единиц уменьшаемого.

Вычисляем 50-7. Здесь из полных десятков сразу единицы не вычитаются. Поэтому мы берем от 50 один десяток и из него вычитаем 7. Получается такая последовательность: 50-7=40+10-7=40+3=43

Теперь развиваем эту идею.

Считаем 40-13. Сначала, как всегда, десятки. Мы 13 представляем как один десяток и три единицы из 40 вычитаем сначала этот десяток, а потом единицы. 40-13=40-10-3=30-3=27. Здесь последнее действие 30-3 нужно уже стараться быстро считать.

Следующий пример 52-8. Здесь смотрим, что у вычитаемого нет десятков и что единицы не получается нормально вычесть. Поэтому от 52 отделяем один десяток (получается 40 и 12) и из 12 вычитаем 8. Получается так: 52-8=40+12-8=40+4=44.

При решении подобной задачи нужно учитывать, что 12-8 и подобные примеры должны выполняться на автомате.

И, наконец, самый сложный пример на вычитание: вычислим 43-27.

Сначала десятки: 43-20=23. А потом из результата вычитаем 7 по схеме выше.

Получается такая конструкция: 43-27=43-20-7=23-7=16. Последнее действие нужно к этому моменту выполнять без запинки.

Обращаю внимание, что указанный порядок работы немного отличается от традиционной методики. Акценты расставлены иначе. Для второклассников эти принципы новы, их действия значительно более конкретны. В начальной школе действия сложения и вычитания прямо вырастают из работы со счётными палочками. Для старших учеников те же самые пучки и палочки можно использовать лишь как иллюстрации.

Например, малыши работают с числом 42 понимая, что это четыре пучка (десятка) счётных палочек и две отдельные палочки. В нашей же ситуации всё наоборот. Ученик должен понять, что абстрактное знакомое число 42 – это не просто набор из двух стоящих рядом цифр (как к этому уже привыкли старшеклассники), а следствие из реального мира и конкретных действий.

То есть малышей не нужно учить дробить число - они органично это впитали. Когда вы связываете/развязываете палочки в пучки, то многие арифметические действия следуют прямо из конкретных действий и легко переносятся во внутренний план. Но для постановки навыков устного счёта в старших классах следует пояснять, откуда взялось это дробление и зачем оно нужно. В противном случае дробление числа на десятки и единицы будет выглядеть искусственным.

Конечно, школьникам постарше нет необходимости проделывать все эти операции по связыванию и развязыванию пучков. Это лишняя трата времени. Обычно для старших учеников достаточно устного объяснения работы этих принципов.

Теперь о некоторых нюансах.

Нужно ли переучивать(ся), если ученик считает иначе? Например, представляя в голове столбик.

Тут нужно отталкиваться от контекста. Бывают ситуации, когда ученик готовится к второй части профильного ЕГЭ и ДВИ и до экзамена остаётся пара месяцев. Вроде все технические навыки поставлены правильно и отработаны до автоматизма, а вот вычитание двузначных чисел с переходом через десяток как-то плохо идет. Если ситуация такова, то наверно не стоит уже вмешиваться в работающую систему и переучивать на «как правильно». Однако, это редкие единичные случаи. Чаще всего ни о каком автоматизме не идёт речи. Вычислительные навыки являются основой для других технических навыков и в подавляющем большинстве случаев их приходится ставить с нуля. И, конечно, в таком случае нужно стремиться делать это правильно.

Второй момент: сначала обязательно проговаривать и прописывать все действия в строку или по действиям. Часто бывает так: ученик просто говорит «а, я понял принцип!» и сразу в уме всё решает, даже не пытаясь записывать. Кажется, что тем самым экономится время. Но это не так. Понять принцип и выработать навык – это абсолютно разные вещи. Когда происходит занятие с преподавателем, он ещё может настоять на необходимости проговаривания и записи. Однако, когда ученик работает сам, он часто попадается в эту ловушку. В итоге, вроде бы тема была понятна, пару примеров удалось решить устно и правильно, но на следующий день уже всё полностью выветривается.

Дальше нужно учитывать, что не все из примеров одинаково полезны. Например, 72-36 или 60-15, 90-45 при улучшенных навыках счёта вы не будете вычислять. Вы будете их просто знать. Это важный элемент работы. Наверно, 43-27 всё-таки придётся честно посчитать, но 60-12 или 75-25 нужно решать без раздумий.

И наконец, такое наблюдение. Некоторые сильные и настойчивые ученики, которым при решении задач приходится много считать, могут самостоятельно переучиться на правильный счёт. Даже если их в начальной школе учили считать сразу столбиком с единиц, показывая «обобщённый способ действия». Причина проста – традиционная методика просто эффективнее, и такой, ученик узнав (или заново открыв) какие-то её элементы, легко на неё переходит.

Однако, не все школьники могут так спонтанно переучиться, и нужно ставить правильный устный счёт сразу в начальной школе.