Статистика ВК сообщества "Математика и физика как хобби и психотерапия"

Савватеев разбирает Школковскую олимпиаду для 7-8 классов.

Если завод снизил производство на 51%, то значит теперь он производит только 49% от первоначального количества продукции. Если первоначальный объем выпуска продукции принять за 1, то теперь завод выпускает 0,49 от первоначального объема. Снижение происходило 2 раза на один и тот же процент. Поэтому,

1 * Χ² = 0,49
Χ = 0,7

То есть ежегодное понижение объема выпускаемой продукции составляло 30%.

Проверим,

100% - 30% = 70%

30% от 70% это 21%.

70% - 21% = 49% от первоначального объема.

Самое простое решение — это посмотреть на картинку с задачей и мысленно убрать слева и справа по одному ластику и одному карандашу. Получится что один карандаш равен трем ластикам, то есть карандаш в три раза дороже ластика.

Можно составить уравнение, где X — это цена карандаша, а Y — это цена ластика. Тогда,

Y + 2X = 4Y + X

Перенося X справа на лево с противоположным знаком мы фактически отнимаем X от правой и левой частей, убираем его и справа и слева. То есть делаем тоже самое что делали в воображении, глядя на картинку.

X = 3Y
X \ Y = 3

Тут можно особо не заморачиваться, взвесить по 1 монете из 9 мешков и если все они будут весить по 10 граммов, то фальшивые монеты в последнем десятом мешке.

То есть надо как минимум 9 взвешиваний.

Но это очень много.

Можно взвесить 5 монет, по одной из 5 любых мешков. Если монеты будут весить 49 граммов, то фальшивые монеты в одном из этих 5 мешков. В противном случае, они в одном из других 5 мешков. Это первое взвешивание.

Затем взвешиваем 3 монеты и определяем находится ли фальшивая монета среди 3 монет, которые были взвешены, или среди 2 оставшихся. Это второе взвешивание.

Затем взвешиваем 2 монеты и затем одну. Итого, 4 взвешивания.

Но есть еще один метод, который позволит все решить за 1 ход.

Обратим внимание на то, что все произведения девятки от 1 до 9 оканчиваются на разные цифры.

1х9 = 9
2х9 = 18
3х9 = 27
4х9 = 36
5х9 = 45
6х9 = 54
7х9 = 63
8х9 = 72
9х9 = 81

Тогда, пронумеруем все мешки и возьмем из первого одну монету, из второго две и так далее до девятого, из которого возьмем 9 монет.

Если общий вес монет оканчивается цифрой 9, то фальшивые монеты в первом мешке, если цифрой 3, то в седьмом, а если нулем, то в десятом.

Интересно, что результат будет один и тот же и в том случае, когда мы будем взвешивать монеты из 9 пронумерованных мешков, и в том, когда мы пронумеруем 10 мешков.

1.

Слова условия о половине гусей и еще полгусе, которые у многих вызывают недоумение, имеют смысл только в том случае если количество гусей, летящих над озером, нечетно.

2.

На последнее седьмое озеро сели все гуси, дальше никто не полетел. Значит половина гусей минус полгуся, а это то количество гусей, которое по условию должно лететь дальше, равно нулю. Такое возможно только если половина гусей равна полгусю, или если к последнему озеру подлетел только один гусь.

3.

Этот один гусь равен половине гусей, подлетевших к шестому озеру, минус полгуся. Значит половина гусей, подлетевших к шестому озеру равна 1,5, а всего к шестому озеру подлетело 3 гуся.

4.

Рассуждая подобным образам, получим, что к пятому озеру подлетело 7 гусей, к четвертому — 15, к третьему — 31, ко второму — 63, а к первому 127.

Если подобные рассуждения записать в виде уравнений, сохраняя нумерацию этапов решения, то получим:

1.

X₇ / 2 – 0.5 = 0
X₇ = 1

X₇ – это количество гусей, подлетевших к седьмому озеру.

2.

X₆ = 2(X₇ + 0,5) = 2(1+0,5) = 3

3.

X₅ = 2(X₆ + 0,5) = 2(3+0,5) = 7
X₄ = 2(X₅ + 0,5) = 2(7+0,5) = 15
X₃ = 2(X₄ + 0,5) = 2(15+0,5) = 31
X₂ = 2(X₃ + 0,5) = 2(31+0,5) = 63
X₁ = 2(X₂ + 0,5) = 2(63+0,5) = 127


Решение задачи о гусях методом «воображаемого» гуся.

Традиционно данная задача относится к типу обратных задач, то есть задач, решаемых с конца. В нашем случае отправной точкой решения послужило последнее седьмое озеро.

Но возможно и прямое решение этой задачи.

1.

Если всего в стае X гусей, то над первым озером садится X/2 + 1/2 гуся.

X/2 + 1/2 = (X+1)/2

2.

Примем, что X+1 это все гуси стаи плюс еще один «воображаемый» гусь. Тогда, с учетом «воображаемого» на воду садится ровно половина гусей.

3.

Тогда, если «воображаемый» гусь все время летит вместе со стаей, то к последнему седьмому озеру подлетает один гусь из стаи и «воображаемый» гусь. Ровно половина гусей, то есть один гусь, садится на воду и остается только «воображаемый» гусь.

4.

То есть над каждым озером число гусей становится в 2 раза меньше, тогда если над седьмым озером их 2, то над шестым 2х2 = 2², над пятым — 2х2х2 = 2³ и, соответственно, над первым 2⁷ = 128. Отнимаем «воображаемого» гуся и получаем

128 — 1 = 127

Тот же ответ, что и вчера.

И тут мы вплотную приблизились к еще одному способу решения этой веселой задачи.

Решение задачи о гусях в двоичной системе счисления.

Оно совсем простое.

Как мы уже заметили, в решении с помощью «воображаемого» гуся, число гусей над каждым озером — это степени двойки.

В двоичной системе счисления любое число представлено как сумма двоек в различных степенях. Наши 127 гусей это

127 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶

А «воображаемый» гусь — это переход к более высокому разряду, если мы движемся от последнего озера к первому, или к более низкому при движении от первого озера к седьмому.

Итак, 1111111₂ = 127₁₀

1.
Нули в произведении дают перемноженные пары двоек и пятерок. Для решения задачи надо выяснить сколько таких пар есть среди первых 100 натуральных чисел.

2.
На 5 делятся 20 чисел от 1 до 100. Но надо учесть, что 4 из них делятся на 25, и они дают еще 4 дополнительные пятерки. Всего имеем

20 + 4 = 24 пятерки.

3.
На двойку делятся все четные числа, таких среди чисел от 1 до 100 – половина. Поэтому для каждой пятерки в данном произведении найдется двойка и число нулей будет равно 24.

Пусть в доме живет X людей и Yсобак.

Тогда людей и собак вместе

X + Y = 5

А ног у всех вместе

2X + 4Y = 14

Из первого уравнения выражаем Y.

Y = 5 — X

Тогда

2X + 4(5 — X) = 14

2X + 20 — 4X = 14

2X = 6

X = 3

Y = 5 — 3 = 2

Итого, в доме живут трое людей и две собаки.

1.
Если число, которое необходимо прибавить к числителю и знаменателю, обозначить через X, то можно составит уравнение

2(10 + X) = 97 + X
20 + 2 X = 97 + X
2X – X = 97 – 20
X = 77

2.
Можно рассуждать немного иначе.

Если от числителя и знаменателя отнять по 10, то в числителе получим 0, а в знаменателе - 87. Теперь, если прибавить к ним по 87, то получим числитель, который будет в 2 раза меньше знаменателя.

Отнять 10 и прибавить 87 это тоже самое, что прибавить 77.

У броска монеты всего два возможных исхода, выпадет или орел или решка. Поэтому, каждый бросок увеличивает количество возможных последовательностей вдвое.

Тогда общее количество возможных последовательностей после трех бросков монеты будет

2*2*2 = 8

1.

Картошка подешевела на 20%, значит то же самое количество картошки можно теперь купить за 80% денег. А за оставшиеся не израсходованными 20% денег можно купить еще одну четверть от того же самого количества картошки, то есть на 25% больше.

2.

Проиллюстрируем это численным примером. Допустим, что до снижения цен 1 килограмм картошки стоил 100 рублей. Тогда после снижения цен он стоит 80 рублей. За оставшиеся не израсходованными 20 рублей при цене 80 рублей за килограмм можно купить еще 250 граммов картошки, или на 25% больше.

3.

Можно составить уравнение.

Пусть X это стоимость 1 килограмма картошки до уменьшения цены в рублях за килограмм,
Y — количество купленных килограмм картошки в килограммах,
а Z — уплаченная сумма денег в рублях.

Тогда,

X * Y = Z

После снижения цены за 1 килограмм надо заплатить только 0,8X рублей. А за ту же самую сумму денег Z можно будет купить уже Y₁ килограммов картошки. Тогда

X * Y = 0,8 X * Y₁

X / 0,8 X = Y₁ / Y

1 / 0,8 = Y₁ / Y

1, 25 =Y₁ / Y

Y₁ = 1,25Y То есть на 25% больше.