Статистика ВК сообщества "for all  x, y, z"

Монахи-цистерцианцы изобрели в XIII столетии систему, благодаря которой каждое число от 1 до 9999 может быть записано всего одним символом

Математик в стране чудес
Южная Корея, 2022

Уже немолодой гениальный математик из Северной Кореи некоторое время назад перебежал в Южную. На новом месте мужчина вынужден скрывать свое прошлое и может рассчитывать только на работу охранником в школе. Однажды он начинает общаться со старшеклассником, которому математика дается с трудом, и решает помочь парню подтянуть знания.

#математика #художественный_фильм

Ядерные реакции
Леннаучфильм, 1986 г.

#физика #ядерная_физика

Термодинамика
Валерий Опойцев

1. Идеальный газ
Уравнение состояния газа. Взаимосвязь давления, температуры и объёма. Механизмы рождения макропараметров в рамках «молекулярного бильярда». Распределение молекул по скоростям. Нормальный закон.

2. Первое начало термодинамики
Закон сохранения энергии в термодинамических обстоятельствах приобретает специфические черты и служит основой для далеко идущих выводов.

3. Вывод уравнения Бернулли
Уравнение Бернулли описывает стационарный поток жидкости или газа. Характеризует, в том числе, взаимосвязь давления и скорости.

4. Скорость звука
Термодинамический вывод формулы для определения скорости звука в газообразной среде.

5. Провокационная роль теплоты
Главная причина неразберихи из-за теплоты возникает в связи с течением энергии по двум каналам. А если процесс не квазистатический, то принципиально нельзя вычислить, сколько тепла уходит или приходит при переходе из одного состояния в другое, не зная истории процесса. А если процесс быстрый, то и знание истории не помогает.

6. Энтропия и второе начало термодинамики
Дифференциал энтропии, обратимые и необратимые процессы, возрастание энтропии изолированных систем при необратимых процессах.

7. Тепловые машины и цикл Карно
Циклические процессы, движение по изотермам и адиабатам, термодинамическая температура, недостижимость максимального кпд, нереализуемость холодильника с нулевой абсолютной температурой.

8. Энтропия информационная
Энтропия как неопределённость. Аксиоматический подход к определению энтропии.

9. Принцип максимума энтропии
Подход статистической физики за пределами термодинамики. Агрегированные оценки пассажиропотоков.

Опойцев Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН.

#физика #статистическая_физика #термодинамика #энтропия #теплота #информационная_энтропия #информатика #теория_информации #Валерий_Опойцев

Любимое уравнение профессора
Япония, 2006

Профессор математики 10 лет назад попал в автомобильную аварию, после чего в его памяти сохраняются события лишь за последние 80 минут. В его жизни появляются два человека: домработница и ее десятилетний сын Рут. Со временем они начинают понимать красоту, скрытую в цифрах, их завораживает любовь профессора к математике. Мало-помалу они начинают исследовать фантастический мир математики, чисел, уравнений, мир, наполненный любовью, теплотой, чистотой и красотой.

#математика #художественный_фильм

Что такое вещественное число?

Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Дедекинда вещественные числа — сечения в области рациональных чисел, в теории Кантора — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби.

1) Метод сечений Дедекинда

В подходе Дедекинда вещественное число определяются сечением в множестве рациональных чисел.

Сечением A|A' в множестве рациональных чисел Q называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний A и верхний A', так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего.

Если существует число α , которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то говорят, что рациональное число α производит данное сечение множества рациональных чисел.

Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то по определению полагают, что данное сечение A|A' определяет некоторое иррациональное число α. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса.

Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел α и β, определяемых сечениями A|A' и B|B' называется вещественное число α+β, которое больше любой суммы a+b, где a∈A и b∈B, и меньше любой суммы a'+b', где a'∈A' и b'∈B'.

2) Фундаментальные последовательности Кантора

В данном подходе вещественное число определяется фундаментальной последовательностью рациональных чисел.

Последовательность {a_n} называется фундаментальной, если расстояние между элементами последовательности a_m, a_n может быть сделано сколько угодно малым при достаточно больших m, n.

Два вещественных числа α и β, определяемые фундаментальными последовательностями {a_n} и {b_n}, считаются равными, если последовательность и {a_n – b_n} стремится к 0.

Сумма вещественных чисел α и β, определяемых фундаментальными последовательностями {a_n} и {b_n}, определяется фундаментальной последовательностью {a_n + b_n}. Аналогично с умножением.

Вещественное число α, определяемое фундаментальной последовательностью {a_n}, считаются положительным, если последовательность {a_n} становится положительной, начиная с некоторого номера.

Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства.

3) Бесконечные десятичные дроби Вейерштрасса

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида

±a{0}, a{1} a{2} ... a{n} ...,

где a{0} — целое неотрицательное число, a{1} a{2} ... a{n} ...— последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества {0, 1, ..., 9}.

Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно.

Однако, при этом следует учитывать, что число

a{0}, a{1} a{2} ... a{n} 99999... = a{0}, a{1} a{2} ... a{n} + 1/10^n

Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.

Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами.

4) Аксиоматический подход

Во всех этих подходах в результате мы конструктивно получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Можно проверить, все эти конструкции приводят к подобным (изоморфным) объектам.

Сечения, классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби являются лишь конкретными моделями некоторой общей структуры множества вещественных чисел. Поэтому можно отбросить детали конкретных реализации и само понятие вещественного числа определять лишь существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа. В этом состоит аксиоматический подход.

Здесь уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках»

Аксиомы множества вещественных чисел

Множество R называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

Аксиомы поля

На множестве R определены операции сложения + и умножения ·, удовлетворяющие свойствам:

a+b = b+a — коммутативность сложения;

a+(b+c) = (a+b)+c — ассоциативность сложения;

Существует особый элемент 0, называемый нулём, такой, что для любого a∈R верно равенство a+0 = a;

Для любого a∈R существует элемент (–a)∈R, называемый противоположным к a, такой, что a+(–a) = 0;

a·b = b·a — коммутативность умножения;

a·(b·с) = (a·b)·c — ассоциативность умножения;

Существует особый элемент 1, называемый единицей, такой, что для любого a∈R верно равенство a·1 = a;

Для любого a∈R, a≠0, существует элемент (1/a)∈R, называемый обратным к a, такой, что a·(1/a) = 1.

a·(b+с) = a·b + a·c — дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

0 ≠ 1 — нетривиальность поля.

Аксиомы порядка

Между элементами множества R определено отношение ≤, которое удовлетворяет следующим свойствам:

a ≤ a — рефлексивность;

Если a ≤ b и b ≤ a, тогда a = b — антисимметричность;

Если a ≤ b и b ≤ c, тогда a ≤ c — транзитивность;

a ≤ b или b ≤ a для всякой пары a, b ∈ R — линейная упорядоченность;

Если a ≤ b, тогда a+c ≤ b+c — связь сложения и порядка;

Если 0 ≤ a и 0 ≤ b, тогда 0 ≤ a·b — связь умножения и порядка;

Аксиомы непрерывности

Каковы бы ни были непустые множества A⊂R и B⊂R, такие, что для любых двух элементов a∈A и b∈B выполняется неравенство a ≤ b, существует число c∈R такое, что для всех a∈A и b∈B имеет место соотношение a ≤ с ≤ b.

Замечание: В множестве рациональных чисел Q аксиома непрерывности не выполняется. Множество вещественных чисел R отличается от множества рациональных Q чисел лишь этой аксиомой.

Если предположить, что натуральные числа уже определены, то этих аксиом достаточно, чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел.

#математика #основания_математики #матанализ

Аналитическая геометрия
Павел Кожевников

1. Введение: Матрицы. Системы линейных уравнений. Векторы
2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространства
3. Системы координат. Скалярное произведение
4. Векторное и смешанное произведения
5. Прямая на плоскости. Плоскость в пространстве
6. Плоскости и прямые в пространстве
7. Алгебраические кривые и поверхности
8. Общее уравнение кривых второго порядка
9. Поверхности в пространстве

Павел Александрович Кожевников — к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики МФТИ, золотой призёр (1992) и затем один из руководителей национальной команды России на международной математической олимпиаде.

#математика #геометрия #аналитическая_геометрия #алгебра #линейная_алгебра #Павел_Кожевников

Чему равна площадь круга?

#математика #геометрия #задача

Парадокс неожиданной казни
Станислав Шапошников

Одного математика приговорили к смертной казни и судья сказал ему:
1) Вас обязательно казнят в течение недели (с понедельника по воскресенье включительно) в полдень.
2) День казни станет для вас неожиданностью, вы узнаете о нём, только в тот момент, когда палач в полдень войдёт к в камеру.

Математик задумался над словами судьи: «В воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в субботу вечером я буду знать об этом. Следовательно, последний возможный день моей казни — суббота. Могут ли меня казнить в субботу? Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать, что меня казнят в субботу, значит, и её можно исключить». Так он рассуждал и пришёл к выводу, что его никогда не казнят.

На следующей неделе палач постучал в его дверь в полдень в среду — это было для него полной неожиданностью. Всё, что судья сказал, осуществилось.

Где недостаток в рассуждении математика?

#математика #Станислав_Шапошников

Уравнение Бернулли для потока жидкости
Киевнаучфильм, 1984 г.

#физика #гидродинамика